프랙탈 이야기 1편

프랙탈이란?

프랙탈이란 카오스 안에서 찾을 수 있는  질서 구조이며 작은 구조가 전체 구조와 유사한 형태로 끝없이 되풀이 되는 구조이다. 이는 부분과 전체가 똑같은 모양을 하고 있다는 '자기 유사성(self-similarity)'과 '순환성(recursiveness)'이라는 속성을 기하학적으로 해석한 것으로 프랙탈은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 특이한 전체 구조의 질서를 형성하는 것이다. 카오스가 복잡하면서도 그 속에 하나의 질서를 지니는 것은 프랙탈이 있기 때문이다.

나뭇가지의 경우를 보면, 생각보다 매우 간단한 규칙으로부터 만들어지는 것을 알 수 있다. 나뭇가지가 일정한 길이의 비(比)가 될 때마다 두 개의 가지로 갈라진다고 하는 간단한 규칙만으로도 모든 방향으로 뻗은 나뭇가지의 구조를 만들어 낼 수가 있다. 이 경우에 가지의 어느 부분을 선택하여 확대를 해도 전체 나무 모양과 같은 모양을 얻을 수 있다. 이러한 성질을 '자기유사성(Self-Similarity)'이라고 하며, 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 

칸토르 먼지(Cantor dust)

프랙탈의 역사는 '칸토르 먼지(Cantor dust)'라는 독일의 수학자  칸토르(Georg Cantor)에 의해 1872 창안된 것으로 알려져 있다. 매우 단순한 계산으로 지금까지 보지못한 모든 스케일의 차원에서 자기유사성을 보여주는 것이다. 바로 0.630929753571457437099527114! (log 2/log 3 이 더 적절하다)라 값을 이용한 수식이다.

그림2) Cantor dust

칸토르 먼지를 만드는 방법은 다음과 같다.  먼저 길이가 1인 선분을 생각하고 그 중에서 중간의 1/3 부분을 제거하고 야쪽 0~1/3, 2/3~1 부분은 그대로 남긴다. 그리고 이러한 것은 무한히 반복하여 아리에 그린다. 이렇게 칸토르 먼지를 만들면 먼지에 포함되어 있는 점의 집합이 자연수 전체의 집합보다 더 큰 비의 농도를 갖는다는 것이다.

시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)

칸토르 먼지의 예와 같이 반복되는 형식으로 시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)을 만들 수 있다. 이 수식은  1915년 폴란드의 수학자 와크로 시에르핀스키(Waclaw Sierpinski)가 만들었다. 시어핀스키 삼각형은 규칙적인 알고리즘을 가지고 있다.

그림3) 시에르핀스키의 삼각형(Sierpinski Triangle)

방식)
등변 정삼각형에서 시작하여 각 변의 중점을 꼭지점으로 하는 삼각형을 그려 합동인 4개의 작은 정삼각형을 만들어진다. 단, 가운데 있는 작은 정삼각형을 제거하여 3개의 정삼각형만 남긴다. 이렇게 되면 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 1/2이고 넓이는 1/4이다. 만들어진 3개의 색칠되어진 정삼각형들에서 위의 과정을 반복하여 시행한다. 

위의 이런 과정을 무한 반복한다.

01234

이런 과정이 반복되면 n단계에서는 3^n개의 작은 삼각형들이 남는 것을 알 수 있다. 또 n단계 후에 생기는 삼각형의 한 변의 길이는 처음에 주어진 변의 길이의 정확히 1/2^n이다.

프랙탈의 정립과 활용

프랙탈(fractal) 용어는 1975년 IBM 연구원으로 있던 만델브로트(Benoit B. Mandelbrot)에 의해 처음으로 고안되었다. 만델브로트는. 1967년 영국의 과학 잡지 '사이언스'에 「영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총 길이는 얼마인가」라는 논문을 통해 프랙탈 이론을 설명한 바가 있다. 이 논문에서 그는 영국의 프랙탈적인 해안선(리아스식 해안선)의 길이는 어떤 단위의 자(尺)로 재느냐에 따라 얼마든지 달라질 수 있다고 주장했으며 실제로 이를 증명도 하였다. 프랙탈은 자기 유사성(Self-Similarity)을 전제로 끊임없이자기 복제를 반복하는 순환성(Recursiveness)의 특성을 가진다.

이는 아주 간단한 수학식인
z=z²+c
에서 출발한다.

Z와 C는 복소수(complex number, 실수와 허수의 합으로 이루어지는 수)라는 점을 제외하면 아주 간단한 수학식이다.

이 간단한 수학식에서 만델브로트 집합, 줄리아 집합이라고 하는 광활한 우주가 만들어졌으며, 그 속에는 아무도 상상할 수 없었던 기상천외한 많은 것들이 수없이 많이 감추어져 있다. 그리고 프랙탈은 자기 유사성, 순환성 외에 알고리즘의 단순성이라는 특징도 가지고 있다.

즉,
「수학식 z=z²+c의 반복 계산 결과 Z가 발산하느냐 수렴하느냐」와 「허수 i²=-1」
이라는 것이 논리의 전부이다.

만델브로트의 구체적인 관심사는 그의 단순한 방정식에서 나오는 값의 증가였다. 그는 어떤 C값에서는 방정식에서 나오는 허수(i)의 값이 계속 증가할 것임을 알았다. 그러나 다른 C값에서 그 허수의 값은 아주 작은 두 허수 사이를 왕복한다. 그래서 그는 컴퓨터를 이용, 허수 값이 무한히 발산하지 않는 각각의 C값을 화면 위에 점으로 표현했다.

만델브로트 프랙탈

그 결과 만델브로트 집합이라는 그림이 나왔다. 납작하게 눌린 벌레의 가장자리에 수많은 촉수가 달린 모습이었고, 어떻게 보면 잉크 얼룩과도 같았다. 그것은 정사각형이나 정삼각형, 원 같은 순수한 기하학적 형태와는 거리가 먼, 뚜렷한 유기적 형태였다.

만델브로트는 그림이 너무 이상한 나머지 그것을 계속 확대해보았으나 단지 더 세부적인 형태만 나왔다. 계속 확대해 들어가도 보이는 것은 더 복잡한 구조뿐이었다. 만델브로트 집합의 세부적 형태는 끝없이 계속된다는 사실이 곧 분명해졌다. 그것을 영원히 확대해도 같은 모양의 구조가 계속 나올 것이다. 프랙탈 기하학은 고전적 기하학에서와 달리 특정된 크기나 축척이 큰 영향을 미치지 않는다는 사실을 알게 된 것이다.

쥴리아 프랙탈(Julia fractal)

만델브로트 집합과 함께 프랙탈의 양대 산맥을 형성하는 줄리아 집합은 만델브로트 집합이 나타나기 훨씬 전인 1918년 프랑스의 수학자인 줄리아(Gaston Julia)에 의해 발표되었다. 만델브로트가 프랙탈의 아버지라면 줄리아는 프랙탈의 할아버지에 해당한다. 만일 줄리아 집합이 발표될 당시 그래픽 기능이 있는 컴퓨터가 있었다면 줄리아 집합이 화려한 명성을 먼저 누렸을 것이다. 수학식 z=z²+c에서 Z를 발산시키지 않는 C값들의 모임이 만델브로트 집합이라면, C값을 고정시킨 상태에서 Z를 발산시키지 않는 Z값들의 모임이 줄리아 집합이다.

프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조라는 사실도 깨닫게 되었다. 따라서 우리는 프랙탈 구조에 대한 이해를 통하여 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있게 되었다. 이제 프랙탈 구조는 혼란스러워 보이는 현상을 설명하는 새로운 언어로 등장하게 되었다.

그림1: Julia fractal

프랙탈이나 카오스 이론을 적용한 기술들은 인공지능,시뮬레이션,우주분야등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술등에도 적용되고 있다.

2편에서 계속