프랙탈 이야기 2편

프랙탈 차원에 대해

기하학적으로 점은 길이나 깊이가 주어지기 전까지는 차원(크기)이 없다.

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(점)

선은 '길이'라는 하나의 차원(크기)을 가진다.

선

평면의 사각형은 x,y축의 폭과 길이를 가지는 2차원이 형성된다.

사각형(평면)

 다음의 큐브는 길이,폭, 깊이의 3차원 공간이 형성된다.

큐브

위에서 기본적으로 설명한 도형의 차원에 대한 설명과 마찬가지로 프랙탈은 분수의 차원을 가지는 것이다. 또한 거기에 사용되는 수치값은 대개 1.7, 0.5326478 또는 3.28 과 같은 실수형이 자주 사용되어 진다. 만일 하나의 선을 2개로 균등한다면 2개의 똑같은 모양의 작은 선이 만들어 진다.

2개로 나뉘어진 선

2차원 사각형 도형의 경우는 어떨까? 폭과 길이를 1/2로 나누어 보자. 아래 보는바와 같이 4개의 균등한 도형이 만들어진다.

1/4로 나뉜 2차원 도형

3차원 큐브를 1/2의 길이와 깊이로 나누면 8개의 작은 큐브조각을 얻을 수 있다.

나뉘어진 큐브

       

큐브를 균등하게 1/2로 나누기

이와같은 기하적적 분열의 경우를 자세히 보게되면 차원에 따라 2,4,8로 계속되는 분열 비율의 수학적 공식을 발견하게 되는데 다음과 같이 표현할 수 있다.

 2 = 2^1

 4 = 2^2

 8 = 2^3

각각의 경우를 살펴보면, 해당 오브젝트 각각의 차원과 배수로 비례한다는 것을 알게된다. 그렇다면 이를 Sierpinski triangle에 똑같이 적용해 보기로 하자. 만일 아래 그림과 같이 1/2로 나누게 되면 3개의 삼각형(가운데의 빈공간은 포함하지 않는다는 점을 기억하라) 밖에 얻을 수 없다. 그렇다면 Z값에 2^z = 3 과 같이 적용할 필요가 생긴다.

Dividing a Sierpinski triangle.

특이한 점은 이 Sierpinski triangle은 하나의 차원이 아니다. 한변을 2개로 나누면 도형이 3개가 나오는데 한변을 2^n개로 만들면 도형이 3^n개가 나온다. 1차원에서 각 삼각형의 변들의 길이들을 몽땅 재면 무한대고 2차원에서 각 삼각형들의 넓이를 몽땅 재면 0 이되어 1~2 사이의 차원을 갖는다는 것이다. 로그 2에 3이 시어핀스키 삼각형의 극한차원이 되며  정확히 1.58496250072115618145373894395 이다.